Vesala valmistui Sibelius-Akatemian Nordic Master in Jazz –ohjelmasta Musiikin Maisteriksi vuonna 2011. Hän on opiskellut useiden huipputrumpetistien johdolla, joista mainittakoon Tim Hagans, Gerard Presencer, Laurie Frink sekä Peter Asplund. Trumpetistina Vesalaa ovat innoittaneet erityisesti Freddie Hubbard, Miles Davis sekä Woody Shaw.

Martti Vesala johtaa kahta helsinkiläistä jazzkvintettiä. Martti Vesala Soundpost Quintet koostuu nuorista suomalaisen jazzin huippunimistä. Vuonna 2011 perustetun kvintetin ohjelmisto on kokonaan Vesalan käsialaa. Yhtyeen tyylillisinä esikuvina ovat Miles Davisin 1960-luvun kvintetin dynaaminen groove, saman aikakauden kokeellinen yhdysvaltalainen jazz sekä Wayne Shorterin elegantti sävelkieli. Yhtyeen levyt julkaisee saksalainen jazziin erikoistunut Ozella Music –levy-yhtiö. Soundpost Quintetin debyyttialbumi "Helsinki Soundpost" julkaistiin 16.9.2016. Yhtyeen toinen albumi "Stars Aligned" julkaistaan 6.4.2018.

Nuoren sukupolven kotimaisiin luottonimiin suomalaisessa jazzissa kuuluva Maratone Quintet edustaa tämän hetken pohjoismaista jazzsoundia parhaimmillaan. Maratone Quintetin erityispiirre, trumpetista ja kitarasta muodostuva frontline tuo yhtyeen sovituksiin persoonallisen sävyn. Yhtyeen ohjelmisto on kokonaan sen jäsenten käsialaa. Kvintetti on hakenut musiikkinsa vaikutteita useilta arvostamiltaan artisteilta, muun muassa Dave Douglasilta ja Esbjörn Svensson Triolta. Maratone Quintet on julkaissut kaksi albumia: kehuttu debyytti "Setting Out" (2008), sekä "Finding The Way" (2012). Maratone Quintet on esiintynyt useiden kotimaisten festivaalien lisäksi muun muassa Norjan Lillehammerissa järjestetyllä Dølajazz -festivaalilla, sekä Viron Tudengijazz-festivaaleilla. Vuonna 2010 yhtye edusti Suomea kansainvälisen Getxo International Jazz Competition -jazzyhtyekilpailun finaalissa Espanjassa.

Martti Vesalan originaalisävellyksiä ovat esittäneet myös mm. UMO Jazz Orchestra, Klüver's Big Band (Århus, Tanska), Kungliga Musikhögskolan Big Band (Tukholma) ja Jyväskylä Big Band. Hän on kolminkertainen Esko Linnanvalli Big Band –sävellyskilpailun finalisti: vuonna 2011 (sävellyksellään "Subconstellation"), vuonna 2013 ("Rhododendron") ja 2015 ("Piper's Park").

Martti Vesala on myös kysytty freelancer-trumpetisti. Hän on esiintyy mm. yhtyeiden Njet Njet 9, Nicole Willis And The Soul Investigators ja Aiyekooto And The Afrobeat International kanssa, sekä projektikohtaisesti UMO Jazz Orchestran, Espoo Big Bandin, Vantaan Viihdeorkesterin, TUMO Orchestran ja Sibelius-Akatemian Alumni Big Bandin riveissä.